On note \(\mathbb{S}^1\) le cercle unité dans \({\Rr}^2\), et \(h\) l’application de \({\Rr}\) dans \(\mathbb{S}^1\): \(t\to(\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)\).
1
Montrer que le cercle privé d’un point, \(\mathbb{S}^1\backslash \{a\}\), est homéomorphe à l’intervalle \(]0,1[\).
2
Montrer que \(h\) est une bijection continue de \([0,1[\) sur \(\mathbb{S}^1\), mais n’est pas un homéomorphisme.
3
Soit \(f\) une application continue de \(\Rr\) dans \(\mathbb{S}^1\backslash \{a\}\), cette fois plongé dans \(\Cc\). Montrer que \(f\) admet un “logarithme continu", c’est-à-dire qu’il existe \(g\) continue de \(\Rr\) dans \(\Rr\) telle que \(f=e^{ig}\).