1
Montrer qu’une fonction de \((X,d)\) dans \((Y,\delta)\) n’est pas uniformément continue, si et seulement si on peut trouver \(\varepsilon>0\) et deux suites de points de \(X\), \((x_n)\) et \((y_n)\) vérifiant
(i) \(d(x_n,y_n)\) tend vers \(0\).
(ii) \(\delta(f(x_n),f(y_n))\geq\varepsilon\).
2
Parmi les fonctions de variable réelle suivantes, lesquelles sont uniformément continues : \(\sin(x^2)\), \(x\sin x\), \(\sin {1\over x},\ x\neq0\) ?