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Montrer qu’une fonction de $(X,d)$ dans $(Y,\delta)$ n’est pas uniformément continue, si et seulement si on peut trouver $\varepsilon>0$ et deux suites de points de $X$, $(x_n)$ et $(y_n)$ vérifiant

(i) $d(x_n,y_n)$ tend vers $0$.

(ii) $\delta(f(x_n),f(y_n))\geq\varepsilon$.

Parmi les fonctions de variable réelle suivantes, lesquelles sont uniformément continues : $\sin(x^2)$, $x\sin x$, $\sin {1\over x},\ x\neq0$ ?