Une application de \(X\) dans \(Y\) est dite ouverte si l’image de tout ouvert de \(X\) est un ouvert de \(Y\); fermée si l’image de tout fermé de \(X\) est un fermé de \(Y\).
1
Montrer qu’une fonction polynomiale de \({\Rr}\) dans \({\Rr}\) est une application fermée.
2
Montrer que l’application \((x,y)\in X\times Y \to x\in X\) est ouverte mais pas nécessairement fermée (considérer l’hyperbole équilatère de \({\Rr}^2\)).
3
Montrer que la fonction indicatrice de l’intervalle \([0, {1\over2}]\), comme application de \(\Rr\) dans \(\{0,1\}\), est surjective, ouverte, fermée, mais pas continue.
4
Montrer que toute application ouverte de \(\Rr\) dans \(\Rr\) et continue est monotone.