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Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ symétrique. Pour $1 \le p \le n$ , on note $\Delta_p$ le déterminant de la sous-matrice $(a_{ij})_{1\le i\le p ; 1\le j\le p}$ .

Montrer que si $A$ est définie positive, alors tous les déterminants $\Delta_p$ sont strictement positifs.

Réciproque : on suppose $\Delta_1 > 0, \dots, \Delta_n > 0$ . Montrer qu’il existe une matrice $B$ triangulaire supérieure inversible telle $A = {}^tBB$ . En déduire que $A$ est définie positive.