Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique. Pour \(1 \le p \le n\), on note \(\Delta_p\) le déterminant de la sous-matrice \((a_{ij})_{1\le i\le p ; 1\le j\le p}\).
1
Montrer que si \(A\) est définie positive, alors tous les déterminants \(\Delta_p\) sont strictement positifs.
2
Réciproque : on suppose \(\Delta_1 > 0, \dots, \Delta_n > 0\). Montrer qu’il existe une matrice \(B\) triangulaire supérieure inversible telle \(A = {}^tBB\). En déduire que \(A\) est définie positive.