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Montrer qu’on peut choisir $f\in GL(3,k)$ telle que $F=P(f)$ et $f$ admet un plan de points fixes.

Montrer alors qu’il existe un point $O$ de $P^2$ (appelé centre de $F$) tel que pour tout point $M$ de $P^2$ non fixé par $F$, la droite $(MF(M))$ passe par $O$.

Soit $d$ une droite et $O$ un point hors de $d$. Soit $A$ et $A'$ deux points hors de $d$ et $A\not=O$ et $O,A,A'$ alignés. Montrer en choisissant un repère convenable qu’il existe une unique homographie $F$ telle que $d$ soit une droite de points fixes et $O$ le centre et qui envoie $A$ sur $A'$.

Soit $F$ une homographie du plan projectif $P^2$ qui admet une droite $d$ de points fixes et de centre $O$. Sachant que $F(A)=A'$, construire l’image du point $M$ par $F$ dans les cas suivants.

Soit $H$ une involution. On considère deux points $P$ et $Q$ tels que avec leur image $P'$ et $Q'$ ils forment un repère projectif (aucun triplet n’est formé de points alignés). On définit $O:=(PP')\cap (QQ')$ et $d$ la droite reliant $(PQ')\cap(QP')$ et $(PQ)\cap(P'Q')$. Montrer que $H$ est l’homographie de droite fixe $d$ de centre $O$ qui envoie $P$ sur $P'$.