Soit \(F\) une homographie du plan projectif \(P^2\) qui admet une droite \(d\) de points fixes.
Montrer qu’on peut choisir \(f\in GL(3,k)\) telle que \(F=P(f)\) et \(f\) admet un plan de points fixes.
Montrer alors qu’il existe un point \(O\) de \(P^2\) (appelé centre de \(F\)) tel que pour tout point \(M\) de \(P^2\) non fixé par \(F\), la droite \((MF(M))\) passe par \(O\).
Soit \(d\) une droite et \(O\) un point hors de \(d\). Soit \(A\) et \(A'\) deux points hors de \(d\) et \(A\not=O\) et \(O,A,A'\) alignés. Montrer en choisissant un repère convenable qu’il existe une unique homographie \(F\) telle que \(d\) soit une droite de points fixes et \(O\) le centre et qui envoie \(A\) sur \(A'\).
Soit \(F\) une homographie du plan projectif \(P^2\) qui admet une droite \(d\) de points fixes et de centre \(O\). Sachant que \(F(A)=A'\), construire l’image du point \(M\) par \(F\) dans les cas suivants.
Soit \(H\) une involution. On considère deux points \(P\) et \(Q\) tels que avec leur image \(P'\) et \(Q'\) ils forment un repère projectif (aucun triplet n’est formé de points alignés). On définit \(O:=(PP')\cap (QQ')\) et \(d\) la droite reliant \((PQ')\cap(QP')\) et \((PQ)\cap(P'Q')\). Montrer que \(H\) est l’homographie de droite fixe \(d\) de centre \(O\) qui envoie \(P\) sur \(P'\).