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Soit $\mathcal{Q}$ une quadrique de $P(E)$ (muni d’un repère projectif) d’équation $q(x)=0$ où $q$ est la forme quadratique d’une forme bilinéaire symétrique non dégénérée $f$ sur un espace vectoriel $E$ . Si $\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont deux sous-espaces orthogonaux dans $E$ , on note $P(\vec{A})\perp P(\vec{B})$ . On appelle hyperplan polaire d’un point $A=P(\vec{A})$ de $P(E)$ l’hyperplan projectif $A^\perp:=P(\vec{A}^\perp)$ .

On munit de plan projectif d’un repère. Déterminer une équation de la droite polaire du point $M(x_0,y_0,1)$ par rapport à la quadrique d’équation $x^2+y^2-z^2=0$ . La représenter dans l’espace affine d’équation $z\not=0$ .

Soit $F$ un sous-espace non-isotrope de $E$ . Soit $A$ et $B$ deux points de $P(F)$ . Montrer si $A\perp B$ pour $f$ alors $A\perp B$ pour $f_{|F}$ .

Soit $\mathcal{Q}$ une quadrique de $P^1(K)$ dont l’image est composée des deux points $A$ et $B$ . Montrer en utilisant un bon repère que pour tout $M$ in $P^1(K)$ , $M\perp N\iff M \textrm{ et } N \textrm{ sont conjugués harmoniques par rapport à } M \textrm{ et } N.$

En déduire une construction géométrique de la polaire d’un point par rapport à une conique.

exo7 7800

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