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On rappelle que le nombre de racine $n$ ième de l’unité dans $\mathbb{F}_q$ est $pgcd(n,q-1)$ . En considérant, le morphisme $SL(E)\to \mathcal{S}(P(E))$ associé à l’action de $SL(E)$ sur les droites de $E$ , démontrer l’existence des isomorphismes suivants

$GL(2,\mathbb{F}_2)=SL(2,\mathbb{F}_2)=PSL(2,\mathbb{F}_2)=PGL(2,\mathbb{F}_2)=\mathcal{S}_3$

$PGL(2,\mathbb{F}_3)=\mathcal{S}_4$ et $PSL(2,\mathbb{F}_3)=\mathcal{A}_4$ .