On rappelle que le nombre de racine \(n\)ième de l’unité dans \(\mathbb{F}_q\) est \(pgcd(n,q-1)\). En considérant, le morphisme \(SL(E)\to \mathcal{S}(P(E))\) associé à l’action de \(SL(E)\) sur les droites de \(E\), démontrer l’existence des isomorphismes suivants
1
\(GL(2,\mathbb{F}_2)=SL(2,\mathbb{F}_2)=PSL(2,\mathbb{F}_2)=PGL(2,\mathbb{F}_2)=\mathcal{S}_3\)
2
\(PGL(2,\mathbb{F}_3)=\mathcal{S}_4\) et \(PSL(2,\mathbb{F}_3)=\mathcal{A}_4\).
3
\(PGL(2,\mathbb{F}_4)=PSL(2,\mathbb{F}_4)=\mathcal{A}_5\).