L3 Algèbre et géométrie Géométrie projective 6 questions

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Soit Δ=P(E)\Delta = P(E) une droite projective. Soient F=P(f)F = P(f) et F′=P(f′)F' = P(f') deux homographies de Δ\Delta dans elle-même telles que F2≠IdΔF^2\neq Id_\Delta, F′2≠IdΔF'^2\neq Id_\Delta et qui possèdent chacune exactement deux points fixes distincts.On se propose de montrer que FF et F′F' commutent si et seulement elles ont les mêmes points fixes. On note AA et BB les points fixes de FF et on note A′A' et B′B' les points fixes de F′F'.

1

On suppose que FF et F′F' ont les mêmes points fixes. Comment traduire cette hypothèse à l’aide des applications linéaires associées ff et f′f' ? Montrer que FF et F′F' commutent (on pourra considérer un repère projectif de Δ\Delta).

Dans la suite de l’exercice, on montre l’implication réciproque : on suppose donc que FF et F′F' commutent.

2

Rappeler la démonstration du fait qu’une homographie d’une droite projective dans elle-même possédant trois points fixes deux à deux distincts est l’identité.

3

En considérant l’image par F∘F′F \circ F' des points A,B,A′,B′A,B,A',B' montrer que {F′(A),F′(B)}={A,B}\{F'(A),F'(B)\} = \{ A,B\} et que {F(A′),F(B′)}={A′,B′}\{F(A'),F(B')\} = \{A',B'\}.

4

Supposons que F(A′)=A′F(A') = A' et F(B′)=B′F(B') = B', montrer que {A′,B′}={A,B}\{A',B'\} = \{A,B\}.

5

Supposons que F(A′)=B′F(A') = B' et F(B′)=A′F(B') = A', montrer que {A′,B′}={A,B}\{A',B'\} = \{A,B\}, et en déduire que ce second cas ne peut pas se produire.

6

Conclure.

Exercice IU4u

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