Soit \(\Delta = P(E)\) une droite projective. Soient \(F = P(f)\) et \(F' = P(f')\) deux homographies de \(\Delta\) dans elle-même telles que \(F^2\neq Id_\Delta\), \(F'^2\neq Id_\Delta\) et qui possèdent chacune exactement deux points fixes distincts.On se propose de montrer que \(F\) et \(F'\) commutent si et seulement elles ont les mêmes points fixes. On note \(A\) et \(B\) les points fixes de \(F\) et on note \(A'\) et \(B'\) les points fixes de \(F'\).
On suppose que \(F\) et \(F'\) ont les mêmes points fixes. Comment traduire cette hypothèse à l’aide des applications linéaires associées \(f\) et \(f'\) ? Montrer que \(F\) et \(F'\) commutent (on pourra considérer un repère projectif de \(\Delta\)).
Dans la suite de l’exercice, on montre l’implication réciproque : on suppose donc que \(F\) et \(F'\) commutent.
Rappeler la démonstration du fait qu’une homographie d’une droite projective dans elle-même possédant trois points fixes deux à deux distincts est l’identité.
En considérant l’image par \(F \circ F'\) des points \(A,B,A',B'\) montrer que \(\{F'(A),F'(B)\} = \{ A,B\}\) et que \(\{F(A'),F(B')\} = \{A',B'\}\).
Supposons que \(F(A') = A'\) et \(F(B') = B'\), montrer que \(\{A',B'\} = \{A,B\}\).
Supposons que \(F(A') = B'\) et \(F(B') = A'\), montrer que \(\{A',B'\} = \{A,B\}\), et en déduire que ce second cas ne peut pas se produire.
Conclure.