Soit \(GL_2(\Rr)\) l’ensemble des matrices inversibles \(2\times 2\) à cœfficients réels. \(GL_2(\Rr)\) est naturellement muni d’une structure de groupe par la multiplication usuelle des matrices. Soit \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \qquad \text{ et } \qquad B=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.\]
1
Montrer que \(A\) et \(B\) appartiennent à \(GL_2(\Rr)\).
2
Quels sont les ordres de \(A\) et \(B\) ?
3
Montrer que \(AB = -BA\) et en déduire que :
4
\(G = \big\{ I, A, B, AB, -I, -A, -B, -AB \big\}\) est un groupe (pour la loi multiplicative des matrices ; \(I\) esl la matrice identité) ;
5
\(G\) est le sous-groupe de \(GL_2(\Rr)\) engendré par \(\{ A,B\}\).