L2 Algèbre Groupe, anneau, corps Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa BCPST 5 questions

exo7 1413

Soit GL2(R)GL_2(\Rr) l’ensemble des matrices inversibles 2×22\times 2 à cœfficients réels. GL2(R)GL_2(\Rr) est naturellement muni d’une structure de groupe par la multiplication usuelle des matrices. Soit A=(100−1) et B=(0−110).A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \qquad \text{ et } \qquad B=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.

1

Montrer que AA et BB appartiennent à GL2(R)GL_2(\Rr).

2

Quels sont les ordres de AA et BB ?

3

Montrer que AB=−BAAB = -BA et en déduire que :

4

G={I,A,B,AB,−I,−A,−B,−AB}G = \big\{ I, A, B, AB, -I, -A, -B, -AB \big\} est un groupe (pour la loi multiplicative des matrices ; II esl la matrice identité) ;

5

GG est le sous-groupe de GL2(R)GL_2(\Rr) engendré par {A,B}\{ A,B\}.

Exercice 0yQD

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