On rappelle qu’une ligne polygonale \(P\) de \(\Rr^n\) est la donnée d’un uplet \(P=(a_0,a_1,\cdots,a_k)\) de points de \(\Rr^n\). On supposera aussi que deux points consécutifs sont distincts. Rappeler la formule pour la longueur d’une ligne polygonale \(P\).
On cherche à montrer le théorème suivant.
Théorème. Soit \(c~:~[a,b]\to \Rr^n\) une courbe paramétrée. Alors, pour tout \(\epsilon>0\), il existe \(\delta>\) tel que pour toute partition \((t_0=a<t_1<t_2<\cdots<t_m=b)\) de \([a,b]\) de pas inférieur à \(\delta\), \[L[P]\leq L[c]\leq L[P]+\epsilon\] où \(P=(c(t_0),c(t_1),\cdots,c(t_m))\) est la ligne polygonale simplement inscrite dans la courbe \(c\) associée à la partition \((t_0=a<t_1<t_2<\cdots<t_m=b)\) de \([a,b]\).
Écrire en termes de quantificateurs, en partant d’un \(\epsilon_1>0\), le théorème des sommes de Riemann pour la fonction \([a,b]\to\Rr\), \(t\mapsto \| \dot{c} (t)\|\).
Écrire en termes de quantificateurs en partant d’un \(\epsilon_2>0\) la propriété de continuité uniforme des fonctions composantes \([a,b]\to\Rr\), \(t\mapsto \dot{c}_j (t)\).
Soit une partition \((t_0=a<t_1<t_2<\cdots<t_m=b)\) de \([a,b]\). Écrire en termes de quantificateurs le théorème des accroissements finis pour la fonction \([t_i,t_{i+1}]\to\Rr\), \(t\mapsto {c}_j (t)\).