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On rappelle qu’une ligne polygonale $P$ de $\Rr^n$ est la donnée d’un uplet $P=(a_0,a_1,\cdots,a_k)$ de points de $\Rr^n$. On supposera aussi que deux points consécutifs sont distincts. Rappeler la formule pour la longueur d’une ligne polygonale $P$.

On cherche à montrer le théorème suivant.

Théorème. Soit $c~:~[a,b]\to \Rr^n$ une courbe paramétrée. Alors, pour tout $\epsilon>0$, il existe $\delta>$ tel que pour toute partition $(t_0=a<t_1<t_2<\cdots<t_m=b)$ de $[a,b]$ de pas inférieur à $\delta$, $$L[P]\leq L[c]\leq L[P]+\epsilon$$ où $P=(c(t_0),c(t_1),\cdots,c(t_m))$ est la ligne polygonale simplement inscrite dans la courbe $c$ associée à la partition $(t_0=a<t_1<t_2<\cdots<t_m=b)$ de $[a,b]$.

Écrire en termes de quantificateurs, en partant d’un $\epsilon_1>0$, le théorème des sommes de Riemann pour la fonction $[a,b]\to\Rr$, $t\mapsto \| \dot{c} (t)\|$.

Écrire en termes de quantificateurs en partant d’un $\epsilon_2>0$ la propriété de continuité uniforme des fonctions composantes $[a,b]\to\Rr$, $t\mapsto \dot{c}_j (t)$.

Soit une partition $(t_0=a<t_1<t_2<\cdots<t_m=b)$ de $[a,b]$. Écrire en termes de quantificateurs le théorème des accroissements finis pour la fonction $[t_i,t_{i+1}]\to\Rr$, $t\mapsto {c}_j (t)$.