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Montrer que $\lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{det(I+\lambda X)-1}{\lambda}=tr(X)$ (penser au polynôme caractéristique). En déduire $D_{Id_n}f(X)$.

En remarquant que $\frac{det(A+\lambda X)-det(A)}{\lambda}$ est égal à $det(A)\frac{det(I+\lambda A^{-1}X)-1}{\lambda}$, pour $A$ inversible, calculer $D_Af(X)$ lorsque $A$ est inversible.

Montrer que $Sl_n(\mathbb{R})$ est une sous-variété de ${\cal M}_n(\mathbb{R})$, de dimension $n^2-1$, dont l’espace tangent en $Id$ est $\{X \in M_n(\mathbb{R}); tr(X)=0\}$.