Soit \(f:{\cal M}_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}\) de classe \(C^\infty\) définie par \(f(A)=det(A)\).
1
Montrer que \(\lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{det(I+\lambda X)-1}{\lambda}=tr(X)\) (penser au polynôme caractéristique). En déduire \(D_{Id_n}f(X)\).
2
En remarquant que \(\frac{det(A+\lambda X)-det(A)}{\lambda}\) est égal à \(det(A)\frac{det(I+\lambda A^{-1}X)-1}{\lambda}\), pour \(A\) inversible, calculer \(D_Af(X)\) lorsque \(A\) est inversible.
3
Montrer que \(Sl_n(\mathbb{R})\) est une sous-variété de \({\cal M}_n(\mathbb{R})\), de dimension \(n^2-1\), dont l’espace tangent en \(Id\) est \(\{X \in M_n(\mathbb{R}); tr(X)=0\}\).