Soit \(f:M_n(\Rr ) \to \Rr\) l’application \(C^\infty\) donnée par \(f(A) = \det(A)\).
1
Montrer que \[\lim_{\lambda \to 0} \frac{\det(I+\lambda X) -1}{\lambda} = \mathrm{tr}(X) \quad , \;\; X\in M_n(\Rr )\; .\] En déduire \(Df(I)(X)\).
2
En remarquant que \[\frac{\det(A+\lambda X)-\det(A)}{\lambda} = \det(A) \frac{\det(I+\lambda A^{-1}X -1)}{\lambda}\; ,\] pour \(A\) une matrice inversible, calculer \(Df(A)(X)\) lorsque \(A\) est inversible.
3
Montrer que \(Sl_n(\Rr) =\{A\in M_n(\Rr ) \; ; \; \det(A) =1\}\) est une sous-variété de \(M_n(\Rr )\) de dimension \(n^2-1\) (on pourra faire le lien avec l’exercice [exn14]) dont l’espace tangent en \(I\) est \[T_I Sl_n(\Rr) = \{X\in M_n(\Rr ) \; ; \; \mathrm{tr}(X) =0\}\; .\]