exo7 6285

Montrer que $$\lim_{\lambda \to 0} \frac{\det(I+\lambda X) -1}{\lambda} = \mathrm{tr}(X) \quad , \;\; X\in M_n(\Rr )\; .$$ En déduire $Df(I)(X)$.

En remarquant que $$\frac{\det(A+\lambda X)-\det(A)}{\lambda} = \det(A) \frac{\det(I+\lambda A^{-1}X -1)}{\lambda}\; ,$$ pour $A$ une matrice inversible, calculer $Df(A)(X)$ lorsque $A$ est inversible.

Montrer que $Sl_n(\Rr) =\{A\in M_n(\Rr ) \; ; \; \det(A) =1\}$ est une sous-variété de $M_n(\Rr )$ de dimension $n^2-1$ (on pourra faire le lien avec l’exercice [exn14]) dont l’espace tangent en $I$ est $$T_I Sl_n(\Rr) = \{X\in M_n(\Rr ) \; ; \; \mathrm{tr}(X) =0\}\; .$$