exo7 7678

Faire une figure pour décrire géométriquement cette application.

On considère un paramétrage local de la sphère unité $\mathcal{S}$ en coordonnées polaires $$\begin{array}{ccc} F : (\theta,\phi)\in ]0,2\pi[\times]0,\pi[&\mapsto&\begin{pmatrix}\cos\theta\sin\phi\\ \sin\theta\sin\phi\\ \cos\phi\end{pmatrix}. \end{array}$$ Déterminer la première forme fondamentale de la sphère dans cette paramétrisation.

On considère l’application $G=f\circ F$. Montrer que c’est un paramétrage local du cylindre $\mathcal{C}$ et calculer la première forme fondamentale du cylindre dans cette paramétrisation.

L’application $f$ est-elle un difféomorphisme local ? Un difféomorphisme de $\mathcal{S}$ sur $\mathcal{C}$ ?

L’application $f$ est-elle une isométrie locale ? Conserve-t-elle les aires ?

En déduire l’aire de la portion de sphère entre deux grands cercles passant par les poles nord et sud et faisant entre eux un angle de mesure $\alpha$. Vérifier en déterminant l’aire de la sphère.