On considère l’application \(f\) de la sphère unité \(\mathcal{S}\) de \(\Rr^3\) à valeurs dans le cylindre \(\mathcal{C}\) de \(\Rr^3\) d’équation \(x^2+y^2=1\) donnée en coordonnées cartésiennes par \[f~: \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ z\end{pmatrix}.\]
Faire une figure pour décrire géométriquement cette application.
On considère un paramétrage local de la sphère unité \(\mathcal{S}\) en coordonnées polaires \[\begin{array}{ccc} F : (\theta,\phi)\in ]0,2\pi[\times]0,\pi[&\mapsto&\begin{pmatrix}\cos\theta\sin\phi\\ \sin\theta\sin\phi\\ \cos\phi\end{pmatrix}. \end{array}\] Déterminer la première forme fondamentale de la sphère dans cette paramétrisation.
On considère l’application \(G=f\circ F\). Montrer que c’est un paramétrage local du cylindre \(\mathcal{C}\) et calculer la première forme fondamentale du cylindre dans cette paramétrisation.
L’application \(f\) est-elle un difféomorphisme local ? Un difféomorphisme de \(\mathcal{S}\) sur \(\mathcal{C}\) ?
L’application \(f\) est-elle une isométrie locale ? Conserve-t-elle les aires ?
En déduire l’aire de la portion de sphère entre deux grands cercles passant par les poles nord et sud et faisant entre eux un angle de mesure \(\alpha\). Vérifier en déterminant l’aire de la sphère.