On note $S$ la sphère unité de $\Rr ^3$ . La fonction $f$ est différentiable sur la sphère comme restriction d’une fonction polynomiale sur $\Rr ^3$ . La fonction $f$ continue sur le compact $S$ atteint ses extrema. En un point extremal, la différentielle de la fonction $f$ restreinte à l’espace tangent doit être nulle. Le gradient de $f$ doit donc être normal à l’espace tangent. On trouve que le vecteur $\left(\begin{array}{c}y\\x\\0\end{array}\right)$ doit être parallèle au vecteur $\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$ . Comme $x$ , $y$ et $z$ ne sont pas simultanément nuls sur $S$ , $z=0$ et $x^2=y^2$ . Puisque $x^2+y^2+z^2=1$ , $x=\pm 1/\sqrt{2}$ et $y=\pm 1/\sqrt{2}$ . En comparant les valeurs en ces quatre points, on trouve que le minimum absolu de la fonction $f$ est donc $-1/2$ atteint au deux points $(1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2},0)$ et $(-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)$ . Le maximum absolu de la fonction $f$ est donc $1/2$ atteint au deux points $(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)$ et $(-1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2},0)$ .

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