On note \(S\) la sphère unité de \(\Rr ^3\). La fonction \(f\) est différentiable sur la sphère comme restriction d’une fonction polynomiale sur \(\Rr ^3\). La fonction \(f\) continue sur le compact \(S\) atteint ses extrema. En un point extremal, la différentielle de la fonction \(f\) restreinte à l’espace tangent doit être nulle. Le gradient de \(f\) doit donc être normal à l’espace tangent. On trouve que le vecteur \(\left(\begin{array}{c}y\\x\\0\end{array}\right)\) doit être parallèle au vecteur \(\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\). Comme \(x\), \(y\) et \(z\) ne sont pas simultanément nuls sur \(S\), \(z=0\) et \(x^2=y^2\). Puisque \(x^2+y^2+z^2=1\), \(x=\pm 1/\sqrt{2}\) et \(y=\pm 1/\sqrt{2}\). En comparant les valeurs en ces quatre points, on trouve que le minimum absolu de la fonction \(f\) est donc \(-1/2\) atteint au deux points \((1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2},0)\) et \((-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)\). Le maximum absolu de la fonction \(f\) est donc \(1/2\) atteint au deux points \((1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)\) et \((-1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2},0)\).

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