Soit l’ouvert \(W =]0; 1[\times \Rr\) dans \(\Rr^2\). On considère la surface \(M\) de \(\Rr^3\) paramétrée par \[\begin{array}{ccc} F: W&\to&\Rr ^3\\(u, v)&\mapsto& (u \cos v , u \sin v , v) \end{array}\]
1
Faire un dessin donnant l’allure de \(M\).
2
Calculer l’aire de la partie de \(M\) comprise entre les plans d’équations \(z = 0\) et \(z = 2\pi\).
3
Calculer, dans le paramétrage \(F\), la courbure de Gauss \(K\), la courbure moyenne \(H\), les courbures principales de la surface \(M\).