L3 Géométrie différentielle Sous-variété 3 questions

exo7 7703

On considère l’application F:]−π,π[×]−π,π[→R3(φθ)↦((2+cos⁡(φ))cos⁡(θ)(2+cos⁡(φ))sin⁡(θ)rsin⁡(φ)).\begin{array}{ccc} F:]-\pi,\pi[\times ]-\pi,\pi[ &\to&\Rr ^3\\ \left(\begin{array}{c}\varphi\\ \theta\end{array}\right) &\mapsto& \begin{pmatrix}(2+\cos(\varphi))\cos(\theta)\\ (2+\cos(\varphi))\sin(\theta)\\ r\sin (\varphi)\end{pmatrix}. \end{array}

1

Montrer qu’on définit une métrique riemannienne sur Im(F)=TIm(F)=T en posant g(∂F∂φ)=g(∂F∂θ)=1g(\frac{\partial F}{\partial \varphi})=g(\frac{\partial F}{\partial \theta})=1 et g(∂F∂φ,∂F∂θ)=0g(\frac{\partial F}{\partial \varphi},\frac{\partial F}{\partial \theta})=0.

2

Déterminer la courbure de Gauss KK de TT avec la métrique gg.

3

Calculer ∫TK(m)dσ(m)\int_T K(m)d\sigma(m).

Exercice RfUx

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