On considère l’application \[\begin{array}{ccc} F:]-\pi,\pi[\times ]-\pi,\pi[ &\to&\Rr ^3\\ \left(\begin{array}{c}\varphi\\ \theta\end{array}\right) &\mapsto& \begin{pmatrix}(2+\cos(\varphi))\cos(\theta)\\ (2+\cos(\varphi))\sin(\theta)\\ r\sin (\varphi)\end{pmatrix}. \end{array}\]
1
Montrer qu’on définit une métrique riemannienne sur \(Im(F)=T\) en posant \(g(\frac{\partial F}{\partial \varphi})=g(\frac{\partial F}{\partial \theta})=1\) et \(g(\frac{\partial F}{\partial \varphi},\frac{\partial F}{\partial \theta})=0\).
2
Déterminer la courbure de Gauss \(K\) de \(T\) avec la métrique \(g\).
3
Calculer \(\int_T K(m)d\sigma(m)\).