Cas de \(\mathbb{R}^2\). \[u=\left (\begin{array}{cc} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22}\end{array}\right).\] L’hypothèse sur \(u\) implique que \(u_{12}=u{21}\). Si \(x=(x_1,x_2)\), on a \[u(x)=\left (\begin{array}{c} u_{11}x_1+ u_{12}x_2 \\ u_{21}x_1 + u_{22}x_2\end{array}\right)\] et \[<u(x),x>=\sum_{i=1}^2 u_i(x)x_i=(u_{11}x_1+u_{12}x_2)x_1+(u_{21}x_1+u_{22}x_2)x_2=u_{11}x_1^2+u_{12}x_1x_2+u_{21}x_1x_2+u_{22}x_2^2.\] Posons \(f(x)=<u(x),x>-1\) alors \[\frac{\partial f}{\partial x_1}= 2u_{11}x_1+u_{12}x_2+u_{21}x_2=2u_{11}x_1+2u_{12}x_2\] et \[\frac{\partial f}{\partial x_2}= 2u_{22}x_2+u_{12}x_1+u_{21}x_1=2u_{21}x_1+2u_{22}x_2.\] Calculons \[Df(x).x=x_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f}{\partial x_2}=2(u_{11}x_1^2+u_{12}x_2x_1+u_{21}x_1x_2+u_{22}x_2^2)=2<u(x),x>.\] Si \(x=(x_1,x_2) \in Q\) alors \(<u(x),x>=1\neq 0\) et donc \(Df(x)\) étant non nul, il est de rang au moins \(1\) et donc de rang maximal. \(Q\) est bien une sous-variété de \(\mathbb{R}^2\) de dimension \(1\).

Déterminons le plan tangent de \(Q\). \[T_xQ=\{y \in \mathbb{R}^2; Df(x)(y)=0\}= \{y \in \mathbb{R}^n; \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)y_i=0\}=\] \[\{y \in \mathbb{R}^n; 2<u(x),y>=0\}.\]

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