Cas de $\mathbb{R}^2$ . $u=\left (\begin{array}{cc} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22}\end{array}\right).$ L’hypothèse sur $u$ implique que $u_{12}=u{21}$ . Si $x=(x_1,x_2)$ , on a $u(x)=\left (\begin{array}{c} u_{11}x_1+ u_{12}x_2 \\ u_{21}x_1 + u_{22}x_2\end{array}\right)$ et $<u(x),x>=\sum_{i=1}^2 u_i(x)x_i=(u_{11}x_1+u_{12}x_2)x_1+(u_{21}x_1+u_{22}x_2)x_2=u_{11}x_1^2+u_{12}x_1x_2+u_{21}x_1x_2+u_{22}x_2^2.$ Posons $f(x)=<u(x),x>-1$ alors $\frac{\partial f}{\partial x_1}= 2u_{11}x_1+u_{12}x_2+u_{21}x_2=2u_{11}x_1+2u_{12}x_2$ et $\frac{\partial f}{\partial x_2}= 2u_{22}x_2+u_{12}x_1+u_{21}x_1=2u_{21}x_1+2u_{22}x_2.$ Calculons $Df(x).x=x_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f}{\partial x_2}=2(u_{11}x_1^2+u_{12}x_2x_1+u_{21}x_1x_2+u_{22}x_2^2)=2<u(x),x>.$ Si $x=(x_1,x_2) \in Q$ alors $<u(x),x>=1\neq 0$ et donc $Df(x)$ étant non nul, il est de rang au moins $1$ et donc de rang maximal. $Q$ est bien une sous-variété de $\mathbb{R}^2$ de dimension $1$ .

Déterminons le plan tangent de $Q$ . $T_xQ=\{y \in \mathbb{R}^2; Df(x)(y)=0\}= \{y \in \mathbb{R}^n; \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)y_i=0\}=$ $\{y \in \mathbb{R}^n; 2<u(x),y>=0\}.$

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