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En calculant la dérivée de $\lambda \mapsto f(\lambda x)$ de deux manières différentes, établir l’identité d’Euler: $$\sum_{i=1}^n x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} = \alpha\, f(x) \quad \text{pour tout} \;\; x\in \Rr^n \; .$$

Soit $a$ un réel non nul. Montrer que $X_a = f^{-1}(\{a\})$ est une sous-variété de dimension $n-1$ de $\Rr^n$. Établir ensuite que, pour $a_1>a_2>0$, $X_{a_1}$ et $X_{a_2}$ sont difféomorphes.

Supposons que $\varphi$ est un difféomorphisme de $\Rr^n$ avec $\varphi ( X_{a_1} ) =X_{a_2}$ et soit $p\in X_{a_1}$. Exprimer l’espace tangent $T_{\varphi (p)}X_{a_2}$ en fonction de $T_pX_{a_1}$.