[exn14] Soit \(f: \Rr^n \to \Rr\) un polynôme homogène de degré \(\alpha >0\) à \(n\) variables.
1
En calculant la dérivée de \(\lambda \mapsto f(\lambda x)\) de deux manières différentes, établir l’identité d’Euler: \[\sum_{i=1}^n x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} = \alpha\, f(x) \quad \text{pour tout} \;\; x\in \Rr^n \; .\]
2
Soit \(a\) un réel non nul. Montrer que \(X_a = f^{-1}(\{a\})\) est une sous-variété de dimension \(n-1\) de \(\Rr^n\). Établir ensuite que, pour \(a_1>a_2>0\), \(X_{a_1}\) et \(X_{a_2}\) sont difféomorphes.
3
Supposons que \(\varphi\) est un difféomorphisme de \(\Rr^n\) avec \(\varphi ( X_{a_1} ) =X_{a_2}\) et soit \(p\in X_{a_1}\). Exprimer l’espace tangent \(T_{\varphi (p)}X_{a_2}\) en fonction de \(T_pX_{a_1}\).