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Montrer que $\mathcal{C}$ est une surface régulière.

Montrer que l’application $F: ]-\pi,\pi[\times\Rr\to \Rr^3$, $(\theta,h)\mapsto (\cos\theta,\sin\theta,h)$ donne un paramétrage de $\mathcal{C}$ au voisinage du point $p$ de coordonnées $(1,0,0)$.

Calculer la matrice $G(u)$ de la première forme fondamentale $I$ dans la base $$(X_\theta(\theta,h):=\frac{\partial F}{\partial \theta}(\theta,h), X_h:=\frac{\partial F}{\partial h}(\theta,h))$$ de $T_{F(\theta,h)}\mathcal{C}$ correspondant à ce paramétrage $F$.

Déterminer un champs de vecteurs normaux unitaires $N(\theta,h)$ au point $F(\theta,h)$.

Calculer les symboles de Christoffel de la base $(X_\theta(\theta,h),X_h(\theta,h))$ de $T_{F(\theta,h)}\mathcal{C}$.

Soit $a$ un nombre réel fixé et $c :\Rr\to S$, $t\mapsto (\cos t,\sin t,at)$ la courbe paramétrée tracée sur le cylindre $\mathcal{C}$. Exprimer le vecteur vitesse au point de paramètre $t$ dans la base $(X_\theta(u), X_h)$ de $T_{F(\theta,h)}\mathcal{C})$.

Les courbes paramétrées précédentes sont-elles des géodésiques ?

Les sections planes du cylindre paramétrées par la longueur d’arc sont-elles des géodésiques ?