On considère dans \(\Rr^3\) euclidien le cylindre \(\mathcal{C}\) d’équation \(x^2+y^2=1\) muni de la métrique riemannienne restriction du produit scalaire de \(\Rr^3\).
Montrer que \(\mathcal{C}\) est une surface régulière.
Montrer que l’application \(F: ]-\pi,\pi[\times\Rr\to \Rr^3\), \((\theta,h)\mapsto (\cos\theta,\sin\theta,h)\) donne un paramétrage de \(\mathcal{C}\) au voisinage du point \(p\) de coordonnées \((1,0,0)\).
Calculer la matrice \(G(u)\) de la première forme fondamentale \(I\) dans la base \[(X_\theta(\theta,h):=\frac{\partial F}{\partial \theta}(\theta,h), X_h:=\frac{\partial F}{\partial h}(\theta,h))\] de \(T_{F(\theta,h)}\mathcal{C}\) correspondant à ce paramétrage \(F\).
Déterminer un champs de vecteurs normaux unitaires \(N(\theta,h)\) au point \(F(\theta,h)\).
Calculer les symboles de Christoffel de la base \((X_\theta(\theta,h),X_h(\theta,h))\) de \(T_{F(\theta,h)}\mathcal{C}\).
Soit \(a\) un nombre réel fixé et \(c :\Rr\to S\), \(t\mapsto (\cos t,\sin t,at)\) la courbe paramétrée tracée sur le cylindre \(\mathcal{C}\). Exprimer le vecteur vitesse au point de paramètre \(t\) dans la base \((X_\theta(u), X_h)\) de \(T_{F(\theta,h)}\mathcal{C})\).
Les courbes paramétrées précédentes sont-elles des géodésiques ?
Les sections planes du cylindre paramétrées par la longueur d’arc sont-elles des géodésiques ?