Soit \(C\) une courbe régulière plane fermée simple convexe paramétrée par la longueur d’arc par l’application \([0,\ell]\to\Rr^2, t\mapsto c(t)\). Un coin est un point de la courbe où la fonction courbure a une dérivée nulle. Le but de l’exercice est de montrer que la courbe \(C\) a au moins trois coins. On suppose que \(C\) n’est pas un cercle. On notera \(v(t)=\dot{c}(t)\) et \(\gamma(t)=\ddot{c}(t)\) et \(\kappa(t)\) la courbure au point de paramètre \(t\).
Montrer que \(C\) a au moins deux coins distincts \(P\) et \(Q\). Faire une figure.
Montrer à l’aide d’une intégration par partie que \(\int_0^\ell \dot{\kappa}(t)c(t)=0\).
On suppose que \(P\) et \(Q\) sont sur l’axe des \(x\) et qu’il n’y a pas d’autres coins. Aboutir à une contradiction.
Montrer que la courbe \(C\) a au moins quatre coins.