On paramètre la surface \(S\) par \(F(u,v)=(u,v,u^2-v^2)\). L’espace tangent en \(p\) est engendré par \((\frac{\partial F}{\partial u})_p=(1,0,2u)_p=(1,0,0)\) et \((\frac{\partial F}{\partial v})_p=(0,1,-2v)_p=(0,1,0)\). La matrice de la première forme fondamentale dans cette base est en \(p\) de paramètre \((0,0)\) \(\begin{pmatrix} 1+4u^2&-4uv\\-4uv&1+4v^2 \end{pmatrix}=Id\). La matrice de la seconde forme fondamentale se calcule à l’aide du vecteur normal \(n=(\frac{\partial F}{\partial u}\times\frac{\partial F}{\partial v})_p=(0,0,1)\) par \(\begin{pmatrix} <\frac{\partial^2 F}{\partial u^2},n>&<\frac{\partial^2 F}{\partial u\partial v},n>\\ <\frac{\partial^2 F}{\partial u\partial v},n>&<\frac{\partial^2 F}{\partial v^2},n> \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&0\\0&-2 \end{pmatrix}\). Comme la matrice de la première forme fondamentale est l’identité, cette dernière matrice est aussi celle de l’endomorphisme de Weingarten. La courbure de Gauss est donc le déterminant \(-4\). Les deux directions principales sont dirigées par les vecteurs \(\frac{\partial F}{\partial u}_p=(1,0,0)\) et \(\frac{\partial F}{\partial v}_p=(0,1,0)\).

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