On paramètre la surface $S$ par $F(u,v)=(u,v,u^2-v^2)$ . L’espace tangent en $p$ est engendré par $(\frac{\partial F}{\partial u})_p=(1,0,2u)_p=(1,0,0)$ et $(\frac{\partial F}{\partial v})_p=(0,1,-2v)_p=(0,1,0)$ . La matrice de la première forme fondamentale dans cette base est en $p$ de paramètre $(0,0)$ $\begin{pmatrix} 1+4u^2&-4uv\\-4uv&1+4v^2 \end{pmatrix}=Id$ . La matrice de la seconde forme fondamentale se calcule à l’aide du vecteur normal $n=(\frac{\partial F}{\partial u}\times\frac{\partial F}{\partial v})_p=(0,0,1)$ par $\begin{pmatrix} <\frac{\partial^2 F}{\partial u^2},n>&<\frac{\partial^2 F}{\partial u\partial v},n>\\ <\frac{\partial^2 F}{\partial u\partial v},n>&<\frac{\partial^2 F}{\partial v^2},n> \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&0\\0&-2 \end{pmatrix}$ . Comme la matrice de la première forme fondamentale est l’identité, cette dernière matrice est aussi celle de l’endomorphisme de Weingarten. La courbure de Gauss est donc le déterminant $-4$ . Les deux directions principales sont dirigées par les vecteurs $\frac{\partial F}{\partial u}_p=(1,0,0)$ et $\frac{\partial F}{\partial v}_p=(0,1,0)$ .

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