Soit \(I\) un intervalle de \(\Rr\) et \(c~:I\to \Rr^2\) une courbe plane paramétrée par la longueur d’arc. On suppose que \(c\) reste dans le disque de rayon \(r>0\) et qu’au point de paramètre \(\tau\), \(\| c(\tau)\| = r\).
1
Rappeler la valeur absolue de la courbure d’un cercle de rayon \(r\).
2
Montrer en dérivant une fois la fonction \(\phi : t\mapsto \| c(t)\|^2\) que \(\ddot{c}(\tau)\) est colinéaire à \(c(\tau)\).
3
Montrer en dérivant à nouveau la fonction \(\phi\) que la courbure en \(\tau\) vérifie \(|\kappa(\tau)|\geq 1/r\).
4
Interpréter graphiquement ce résultat.