L3 Géométrie différentielle Sous-variété 5 questions

exo7 7652

Le but de l’exercice est de montrer le théorème suivant.

Théorème. Soit II un intervalle et κ : I→R\kappa~:~I\to\Rr une fonction de classe C∞\mathcal{C}^\infty. Alors, il existe une courbe plane c : I→R2c~:~I\to\Rr^2 paramétrée par la longueur d’arc et de fonction courbure κ\kappa. Cette courbe est unique à composition au but par un déplacement près.

1

On considère le système d’équations différentielles linéaire du premier ordre ddt(cvn)=(01000κ0−κ0)(cvn).\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}c\\v\\n\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&\kappa\\0&-\kappa&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}c\\v\\n\end{array}\right). où les fonctions c,v,n : I→R2c,v,n~:~I\to\Rr^2 sont les inconnues. Montrer que ce système admet une unique solution (c(t),v(t),n(t))(c(t),v(t),n(t)) avec pour valeur initiale un vecteur fixé (c0,v0,n0)(c_0,v_0,n_0) avec (v0,n0)(v_0,n_0) base orthonormée directe.

2

Écrire un système d’équations différentielles linéaire du premier ordre satisfait par le vecteur (<v,v>,<n,n>,<v,n>)(<v,v>,<n,n>,<v,n>).

3

Montrer que pour les solutions obtenues précédemment, (v(t),n(t))(v(t),n(t)) reste un repère orthonormé direct.

4

En déduire que la courbe cc obtenue est paramétrée par la longueur d’arc et que sa fonction courbure est κ\kappa.

5

Conclure.

Exercice JpoT

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