Le but de l’exercice est de montrer le théorème suivant.
Théorème. Soit \(I\) un intervalle et \(\kappa~:~I\to\Rr\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^\infty\). Alors, il existe une courbe plane \(c~:~I\to\Rr^2\) paramétrée par la longueur d’arc et de fonction courbure \(\kappa\). Cette courbe est unique à composition au but par un déplacement près.
On considère le système d’équations différentielles linéaire du premier ordre \[\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}c\\v\\n\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&\kappa\\0&-\kappa&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}c\\v\\n\end{array}\right).\] où les fonctions \(c,v,n~:~I\to\Rr^2\) sont les inconnues. Montrer que ce système admet une unique solution \((c(t),v(t),n(t))\) avec pour valeur initiale un vecteur fixé \((c_0,v_0,n_0)\) avec \((v_0,n_0)\) base orthonormée directe.
Écrire un système d’équations différentielles linéaire du premier ordre satisfait par le vecteur \((<v,v>,<n,n>,<v,n>)\).
Montrer que pour les solutions obtenues précédemment, \((v(t),n(t))\) reste un repère orthonormé direct.
En déduire que la courbe \(c\) obtenue est paramétrée par la longueur d’arc et que sa fonction courbure est \(\kappa\).
Conclure.