Soit \(S_1\) d’équation \(x^6+y^6+z^6=1\) et \(S_ 2\) d’équation \(x^2+y^2+z^2=1\).
1
Montrer que \(S_1\) et \(S_2\) sont deux sous-surfaces différentiables de \(\Rr^3\).
2
On considère l’application \(f\) de \(S_1\) vers \(S_2\), qui à \(p\) de coordonnées \((x,y,z)\) associe le point de coordonnées \((x^3, y^3, z^3)\). Montrer que \(f\) est bijective de \(S_1\) sur \(S_2\).
3
Montrer que \(f\) est différentiable.
4
Déterminer la différentielle de \(f\). Est-elle inversible ?
5
La bijection réciproque \(f^{-1}\) est-elle différentiable ?
6
Reprenez l’exercice pour l’application \(g\) de \(S_1\) vers le plan d’équation \(z=0\), qui à \(p\) de coordonnées \((x,y,z)\) associe le point de coordonnées \((x,x,0)\).