L3 Géométrie différentielle Sous-variété 6 questions

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Soit S1S_1 d’équation x6+y6+z6=1x^6+y^6+z^6=1 et S2S_ 2 d’équation x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1.

1

Montrer que S1S_1 et S2S_2 sont deux sous-surfaces différentiables de R3\Rr^3.

2

On considère l’application ff de S1S_1 vers S2S_2, qui à pp de coordonnées (x,y,z)(x,y,z) associe le point de coordonnées (x3,y3,z3)(x^3, y^3, z^3). Montrer que ff est bijective de S1S_1 sur S2S_2.

3

Montrer que ff est différentiable.

4

Déterminer la différentielle de ff. Est-elle inversible ?

5

La bijection réciproque f−1f^{-1} est-elle différentiable ?

6

Reprenez l’exercice pour l’application gg de S1S_1 vers le plan d’équation z=0z=0, qui à pp de coordonnées (x,y,z)(x,y,z) associe le point de coordonnées (x,x,0)(x,x,0).

Exercice lH26

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