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La courbe paramétrée suivante est-elle régulière ? $$\begin{array}{ccc} c: \Rr &\to&\Rr ^3\\ t&\mapsto& \left(\begin{array}{c}t\cos t \\ t\sin t\\ t\end{array}\right). \end{array}$$

On fixe deux nombres réels $a<b$. Comparer la longueur de la portion de la courbe $c$ paramétrée par $[a,b]$ et $\sqrt{2}(b-a)$.

Déterminer une surface quadrique qui contient l’image $\mathcal{C}$ de la courbe $c$.

Déterminer un déplacement (non égal à l’identité) de l’espace $\Rr ^3$ qui conserve l’image $\mathcal{C}$ de la courbe $c$.

Décrire l’allure de la courbe $\mathcal{C}$.

Calculer la fonction torsion de la courbe $c$.