Soient \(\alpha\) et \(\beta\) des fonctions de \({\cal C}^1 (\Rr , \Rr )\).
1
On considère l’application \(\varphi : \Rr \to \Rr^3\) donnée par \(\varphi (x) = (\alpha (x) , 0, \beta (x))\). Donner des conditions à \(\alpha , \beta\) pour que \({\cal C} = \varphi (\Rr )\) soit une sous-variété de \(\Rr^3\).
2
Soit maintenant \(f:\Rr^2 \to \Rr^3\) l’application \(f(x,y) = (\alpha (x) \cos (y) , \alpha (x) \sin (y) , \beta (x) )\). On cherche encore des conditions pour \(\alpha , \beta\) sous lesquelles \({\cal S} =f(\Rr^2 )\) soit une sous-variété de \(\Rr^3\).
3
Notons \(p=f(x,0)\), \(x\in \Rr\). Quel est le lien entre les espaces tangents \(T_p {\cal S}\) et \(T_p {\cal C}\).