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On considère l’application $\varphi : \Rr \to \Rr^3$ donnée par $\varphi (x) = (\alpha (x) , 0, \beta (x))$. Donner des conditions à $\alpha , \beta$ pour que ${\cal C} = \varphi (\Rr )$ soit une sous-variété de $\Rr^3$.

Soit maintenant $f:\Rr^2 \to \Rr^3$ l’application $f(x,y) = (\alpha (x) \cos (y) , \alpha (x) \sin (y) , \beta (x) )$. On cherche encore des conditions pour $\alpha , \beta$ sous lesquelles ${\cal S} =f(\Rr^2 )$ soit une sous-variété de $\Rr^3$.

Notons $p=f(x,0)$, $x\in \Rr$. Quel est le lien entre les espaces tangents $T_p {\cal S}$ et $T_p {\cal C}$.