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Traduire chacune de ces trois propriétés à l’aide des formes fondamentales.

Les coordonnées sphériques donnent-elles une application qui conserve les longueurs, ou les mesures d’angles, ou les aires ?

La projection stéréographique depuis le pôle nord conserve-t-elle les longueurs, ou les mesures d’angles, ou les aires ?

L’application du cylindre dans la sphère $$\begin{array}{ccc} ]0,2\pi[\times ]-1,1[&\to& S^2\\ (\theta, h)&\mapsto& \left( \begin{array}{c}\sqrt{1-h^2} \cos\theta\\ \sqrt{1-h^2} \sin\theta\\ h\end{array}\right) \end{array}$$ conserve-t-elle les longueurs, ou les mesures d’angles, ou les aires ?

L’application du cylindre dans la sphère $$\begin{array}{ccc} ]0,2\pi[\times ]-\infty,+\infty[&\to& S^2\\ (\theta, x)&\mapsto& \left( \begin{array}{c}\sqrt{1-h^2(x)} \cos\theta\\ \sqrt{1-h^2(x)} \sin\theta\\ h(x)\end{array}\right) \end{array}$$ avec $h(x)=\tanh (x)$ conserve-t-elle les longueurs, ou les mesures d’angles, ou les aires ?