On cherche des applications d’un ouvert du plan \(\Rr^2\) dans un ouvert de la sphère \(S^2\) de \(\Rr^3\) qui conservent les longueurs, ou les mesures d’angles, ou les aires.
Traduire chacune de ces trois propriétés à l’aide des formes fondamentales.
Les coordonnées sphériques donnent-elles une application qui conserve les longueurs, ou les mesures d’angles, ou les aires ?
La projection stéréographique depuis le pôle nord conserve-t-elle les longueurs, ou les mesures d’angles, ou les aires ?
L’application du cylindre dans la sphère \[\begin{array}{ccc} ]0,2\pi[\times ]-1,1[&\to& S^2\\ (\theta, h)&\mapsto& \left( \begin{array}{c}\sqrt{1-h^2} \cos\theta\\ \sqrt{1-h^2} \sin\theta\\ h\end{array}\right) \end{array}\] conserve-t-elle les longueurs, ou les mesures d’angles, ou les aires ?
L’application du cylindre dans la sphère \[\begin{array}{ccc} ]0,2\pi[\times ]-\infty,+\infty[&\to& S^2\\ (\theta, x)&\mapsto& \left( \begin{array}{c}\sqrt{1-h^2(x)} \cos\theta\\ \sqrt{1-h^2(x)} \sin\theta\\ h(x)\end{array}\right) \end{array}\] avec \(h(x)=\tanh (x)\) conserve-t-elle les longueurs, ou les mesures d’angles, ou les aires ?