L3 Géométrie différentielle Sous-variété 3 questions

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Soit EE un espace vectoriel de dimension finie, a∈Ea \in E et f:E→Ef: E \rightarrow E un difféomorphisme de classe C1C^1. On suppose que fn=Idf^n=Id et f(a)=af(a)=a. On pose A=DafA=D_af et u(x)=∑p=1nA−pfp(x)u(x)=\sum_{p=1}^n A^{-p}f^p(x) pour x∈Ex \in E.

1

Montrer que uu est un difféomorphisme local en aa tel que u∘f=A∘uu \circ f=A \circ u.

2

Soit FF l’ensemble des points fixes de ff. Montrer que FF est une sous-variété de EE.

3

Soit g:R2→R2g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, g(x,y)=(x,y+y3−x2)g(x,y)=(x,y+y^3-x^2). Montrer que gg est un difféomorphisme de R2\mathbb{R}^2. En déduire que 2/2/ n’est plus nécessairement vrai si on supprime l’hypothèse fn=Idf^n=Id.

Exercice vDoa

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