Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(a \in E\) et \(f: E \rightarrow E\) un difféomorphisme de classe \(C^1\). On suppose que \(f^n=Id\) et \(f(a)=a\). On pose \(A=D_af\) et \(u(x)=\sum_{p=1}^n A^{-p}f^p(x)\) pour \(x \in E\).
1
Montrer que \(u\) est un difféomorphisme local en \(a\) tel que \(u \circ f=A \circ u\).
2
Soit \(F\) l’ensemble des points fixes de \(f\). Montrer que \(F\) est une sous-variété de \(E\).
3
Soit \(g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\), \(g(x,y)=(x,y+y^3-x^2)\). Montrer que \(g\) est un difféomorphisme de \(\mathbb{R}^2\). En déduire que \(2/\) n’est plus nécessairement vrai si on supprime l’hypothèse \(f^n=Id\).