L3 Géométrie différentielle Sous-variété 4 questions

exo7 7702

On considère l’application F:]−π,π[×]−π,π[→R3(φθ)↦((2+cos⁡(φ))cos⁡(θ)(2+cos⁡(φ))sin⁡(θ)sin⁡(φ)).\begin{array}{ccc} F: ]-\pi,\pi[\times ]-\pi,\pi[&\to&\Rr^3\\ \left(\begin{array}{c}\varphi\\ \theta\end{array}\right) &\mapsto& \begin{pmatrix}(2+\cos(\varphi))\cos(\theta)\\ (2+\cos(\varphi))\sin(\theta)\\ \sin (\varphi)\end{pmatrix}. \end{array}

1

Représenter l’image TT de FF.

2

Montrer que TT est une surface régulière de R3\Rr ^3.

3

Déterminer la courbure de Gauss KK de TT avec la métrique induite par le produit scalaire sur R3\Rr ^3, c’est à dire la première forme fondamentale.(Expliquer d’abord votre démarche globale. Tout résultat intermédiaire sera pris en compte).

4

Calculer ∫TK(m)dσ(m)\int_T K(m)d\sigma(m).

Exercice j7Wm

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