On considère l’application \[\begin{array}{ccc} F: ]-\pi,\pi[\times ]-\pi,\pi[&\to&\Rr^3\\ \left(\begin{array}{c}\varphi\\ \theta\end{array}\right) &\mapsto& \begin{pmatrix}(2+\cos(\varphi))\cos(\theta)\\ (2+\cos(\varphi))\sin(\theta)\\ \sin (\varphi)\end{pmatrix}. \end{array}\]
1
Représenter l’image \(T\) de \(F\).
2
Montrer que \(T\) est une surface régulière de \(\Rr ^3\).
3
Déterminer la courbure de Gauss \(K\) de \(T\) avec la métrique induite par le produit scalaire sur \(\Rr ^3\), c’est à dire la première forme fondamentale.(Expliquer d’abord votre démarche globale. Tout résultat intermédiaire sera pris en compte).
4
Calculer \(\int_T K(m)d\sigma(m)\).