Soit \(\kappa\in\Rr^+\). On considère sur le plan affine \(\Rr^2\), la métrique riemannienne donnée par \[g_{ij}(x_1,x_2)=\frac{1}{(1+\kappa(x^2+y^2))^2}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\] dans la paramétrisation \(Id\) de \(\Rr^2\).
Calculer les symboles de Christoffel, par la formule \[\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum_{m} \left(\frac{\partial g_{im}}{\partial u^j} +\frac{\partial g_{jm}}{\partial u^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^m}\right)g^{mk}.\]
On rappelle la formule des coefficients de l’endomorphisme de courbure \[R(X_i,X_j)X_k=\sum_l \left(\frac{\partial\Gamma_{kj}^l}{\partial u^i} -\frac{\partial\Gamma_{ki}^l}{\partial u^j} +\sum_m\left(\Gamma_{mi}^l\Gamma_{kj}^m-\Gamma_{mj}^l\Gamma_{ki}^m\right) \right)X_l\] Calculer la courbure de Gauss de \((\Rr^2,g)\).