L3 Géométrie différentielle Sous-variété 2 questions

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Soit κ∈R+\kappa\in\Rr^+. On considère sur le plan affine R2\Rr^2, la métrique riemannienne donnée par gij(x1,x2)=1(1+κ(x2+y2))2(1001)g_{ij}(x_1,x_2)=\frac{1}{(1+\kappa(x^2+y^2))^2}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix} dans la paramétrisation IdId de R2\Rr^2.

1

Calculer les symboles de Christoffel, par la formule Γijk=12∑m(∂gim∂uj+∂gjm∂ui−∂gij∂um)gmk.\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum_{m} \left(\frac{\partial g_{im}}{\partial u^j} +\frac{\partial g_{jm}}{\partial u^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^m}\right)g^{mk}.

2

On rappelle la formule des coefficients de l’endomorphisme de courbure R(Xi,Xj)Xk=∑l(∂Γkjl∂ui−∂Γkil∂uj+∑m(ΓmilΓkjm−ΓmjlΓkim))XlR(X_i,X_j)X_k=\sum_l \left(\frac{\partial\Gamma_{kj}^l}{\partial u^i} -\frac{\partial\Gamma_{ki}^l}{\partial u^j} +\sum_m\left(\Gamma_{mi}^l\Gamma_{kj}^m-\Gamma_{mj}^l\Gamma_{ki}^m\right) \right)X_l Calculer la courbure de Gauss de (R2,g)(\Rr^2,g).

Exercice DcBz

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