Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(a\in E\) et \(f:E\to E\) un difféomorphisme de classe \(C^1\). On suppose que \(f^n =id\) et \(f(a)=a\). On pose \(A=Df(a)\) et \(u(x) = \sum_{p=1}^n A^{-p} f^p(x)\) pour \(x\in E\).
1
Montrer que \(u\) est un difféomorphisme local en \(a\) tel que \(u\circ f = A\circ u\).
2
Soit \(F\) l’ensemble des points fixes de \(f\). Montrer que \(F\) est une sous-variété de \(E\).
3
Soit \(g:\Rr^2\to \Rr^2\), \(g(x,y) = (x,y+y^3-x^2)\). Montrer que \(g\) est un difféomorphisme de \(\Rr^2\). En déduire que \(2)\) n’est plus nécessairement vrai si on supprime l’hypothèse \(f^n =id\).