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Déterminer par une expression en coordonnées de la projection stéréographique d’un ouvert $U$ de $S$ (à déterminer) depuis le pôle nord sur le plan d’équation $z=0$. Vérifier qu’il s’agit bien de paramétrage de $U$.

Faîtes de même depuis le pôle sud.

Montrer que le changement de paramétrage est de classe $\mathcal{C}^\infty$.

Interpréter les coordonnées sphériques comme un paramétrage de la sphère $S$.