On considère la sphère \(S\) unité dans \(\Rr^3\).
1
Déterminer par une expression en coordonnées de la projection stéréographique d’un ouvert \(U\) de \(S\) (à déterminer) depuis le pôle nord sur le plan d’équation \(z=0\). Vérifier qu’il s’agit bien de paramétrage de \(U\).
2
Faîtes de même depuis le pôle sud.
3
Montrer que le changement de paramétrage est de classe \(\mathcal{C}^\infty\).
4
Interpréter les coordonnées sphériques comme un paramétrage de la sphère \(S\).