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Soit $c~:I\to \Rr^2$ une courbe plane paramétrée par la longueur d’arc. On suppose que $c$ reste dans le disque de rayon $r$ et qu’au point de paramètre $\tau$ , $\| c(\tau)\|=r$ .

Montrer en dérivant une fois la fonction $t\mapsto \| c(t)\|^2$ que $\ddot{c}(\tau)$ est colinéaire à $c(\tau)$ ?

Montrer en dérivant à nouveau la fonction $t\mapsto \| c(t)\|^2$ que la courbure en $\tau$ vérifie $|\kappa(\tau)|\geq 1/r$ .