Soit \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3\) définie par \(f(\theta,\varphi)=(\cos\theta (1+1/2 \cos\varphi),\sin\theta (1+1/2\cos \varphi), 1/2 \sin \varphi)\) et soit \(T=f(\mathbb{R}^2)\).
Soit \(R_\theta\) la rotation d’angle \(\theta\) autour de \((0z)\), et soit \(C=\{(1+1/2 \cos \varphi, 0, 1/2 \sin \varphi); \varphi \in \mathbb{R}\}\). Montrer que \(f(\mathbb{R}^2)=\Cup_{\theta \in \mathbb{R}}R_\theta(C)\). Dessiner \(T\).
Montrer que \(f(\theta, \varphi)=f(\theta_0,\varphi_0)\) si et seulement si il existe \((k,l) \in \mathbb{Z}^2\) tels que \(\theta=\theta_0+2k\pi\) et \(\varphi=\varphi_0+2l\pi\).
Montrer que pour tout ouvert \(U \subset \mathbb{R}^2\), \(f(U)\) est un ouvert de \(T\).
Montrer que \(T\) est une sous-variété de \(\mathbb{R}^3\).