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Soit $F=(F_1,...,F_k)$ une application $C^1$ d’un ouvert $U$ de $\Rr^m$ dans $\Rr^k$ . Notons $M=\{x\in U\; ; \; F(x) =0 \}$ et soit $a\in M$ .

Établir l’équivalence des propriétés suivantes:

$DF(a)$ est surjective.

Les formes linéaires $DF_1(a), ..., DF_k(a)$ sont linéairement indépendantes.

$\mathrm{Ker}\, DF(a) = \bigcap_{i=1}^k \mathrm{Ker}\, DF_i(a)$ est de dimension $m-k$ .

Un point $a\in M$ est dit point régulier si $DF(a)$ est surjective. Montrer que l’ensemble des points réguliers de $M$ est un ouvert de $M$ .

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