Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels ou complexes tels que \(\alpha\beta=-1\) et \(|\alpha|>1>|\beta|.\) Pour \(n\) dans l’ensemble \({\bf Z}\) des entiers positifs ou négatifs on pose \(F_n=\frac{1}{\alpha-\beta}(\alpha^n-\beta^n)\) et \(L_n=\alpha^n+\beta^n\) (si \(\alpha+\beta=1\) ces nombres sont appelés entiers de Fibonacci (1225) et de Lucas (1891)).
Montrer par le critère de D’Alembert que la série \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n+1}+1}\) converge et calculer la limite de \(Q_n=L_n/F_n\) si \(n\rightarrow +\infty.\) .
On admet (identité de Backstrom (1981)) que pour tous \(n\) et \(k\) de \({\bf Z}\) on a \[\frac{1}{F_{4n-2k-1}+F_{2k+1}}+\frac{1}{F_{4n+2k+1}+F_{2k+1}}=\frac{1}{2L_{2k+1}} \left(Q_{2n+2k+1}-Q_{2n-2k-1}\right).\] En faisant \(k=0\) dans cette identité, calculer la somme partielle d’ordre \(2n\) de la série initiale, c’est à dire \(s_{2n}=\sum_{j=1}^{2n}\frac{1}{F_{2j+1}+1}\) en montrant par récurrence sur \(n\) que \(s_{2n}=\frac{1}{2L_1} (Q_{2n+1}-Q_1).\) En déduire la somme de la série en termes de \(\alpha\) et \(\beta.\) Donner une expression simple du terme général de la série et de sa somme si \(\alpha=\exp t\) et \(\beta=-\exp (-t)\) si \(t\) est réel.
Montrer que la série \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n+1}+F_3}\) converge et calculer sa somme.