exo7 1947

Montrer par le critère de D’Alembert que la série $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n+1}+1}$ converge et calculer la limite de $Q_n=L_n/F_n$ si $n\rightarrow +\infty.$ .

On admet (identité de Backstrom (1981)) que pour tous $n$ et $k$ de ${\bf Z}$ on a $$\frac{1}{F_{4n-2k-1}+F_{2k+1}}+\frac{1}{F_{4n+2k+1}+F_{2k+1}}=\frac{1}{2L_{2k+1}} \left(Q_{2n+2k+1}-Q_{2n-2k-1}\right).$$ En faisant $k=0$ dans cette identité, calculer la somme partielle d’ordre $2n$ de la série initiale, c’est à dire $s_{2n}=\sum_{j=1}^{2n}\frac{1}{F_{2j+1}+1}$ en montrant par récurrence sur $n$ que $s_{2n}=\frac{1}{2L_1} (Q_{2n+1}-Q_1).$ En déduire la somme de la série en termes de $\alpha$ et $\beta.$ Donner une expression simple du terme général de la série et de sa somme si $\alpha=\exp t$ et $\beta=-\exp (-t)$ si $t$ est réel.

Montrer que la série $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n+1}+F_3}$ converge et calculer sa somme.