exo7 1949

Soit $0 < a < b$ et $(u_n)_{n\geq 0}$ défini par $u_0=1$ et $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+a}{n+b}$ pour $n\geq 0.$ Montrer que la limite de la suite $W_n=\log (n^{b-a}u_n)$ existe et est finie. En déduire les valeurs de $a$ et $b$ telles que la série $\sum_{j=0}^{\infty} u_j$ converge. Calculer alors sa somme: pour cela expliciter sa somme partielle $s_n,$ en montrant d’abord que pour tout $n$ on a $$\sum_{j=0}^n[(j+1)+b-1]u_{j+1}=\sum_{j=0}^n[j +a]u_j.$$