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Soit \(0 < a < b\) et \((u_n)_{n\geq 0}\) défini par \(u_0=1\) et \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+a}{n+b}\) pour \(n\geq 0.\) Montrer que la limite de la suite \(W_n=\log (n^{b-a}u_n)\) existe et est finie. En déduire les valeurs de \(a\) et \(b\) telles que la série \(\sum_{j=0}^{\infty} u_j\) converge. Calculer alors sa somme: pour cela expliciter sa somme partielle \(s_n,\) en montrant d’abord que pour tout \(n\) on a \[\sum_{j=0}^n[(j+1)+b-1]u_{j+1}=\sum_{j=0}^n[j +a]u_j.\]