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Soit $P\in\R[X]$. Vérifier que : $\int_{t=-1}^1 P(t)\,d t + i \int_{\theta=0}^\pi P(e^{i\theta})e^{i\theta}\, d\theta=0$.

En déduire : $\int_{t=0}^1P^2(t)\,d t \le \frac12 \int_{\theta=-\pi}^\pi |P(e^{i\theta})|^2\, d\theta$.

Soient $2n$ réels positifs $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n$. Montrer que $\sum_{k=1}^n\sum_{\ell=1}^n \frac{a_kb_\ell}{\strut k+\ell} \le \pi\sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2}\,\sqrt{\sum_{\ell=1}^n b_\ell^2}$.

Soient $(a_k)_{k\in\N}$ et $(b_\ell)_{\ell\in\N}$ deux suites complexes de carrés sommables.

Montrer que la suite double $\left(\frac{a_kb_\ell}{\strut k+\ell}\right)_{(k,\ell)\in\N^2}$ est sommable.