1
Soit \(P\in\R[X]\). Vérifier que : \(\int_{t=-1}^1 P(t)\,d t + i \int_{\theta=0}^\pi P(e^{i\theta})e^{i\theta}\, d\theta=0\).
En déduire : \(\int_{t=0}^1P^2(t)\,d t \le \frac12 \int_{\theta=-\pi}^\pi |P(e^{i\theta})|^2\, d\theta\).
2
Soient \(2n\) réels positifs \(a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n\). Montrer que \(\sum_{k=1}^n\sum_{\ell=1}^n \frac{a_kb_\ell}{\strut k+\ell} \le \pi\sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2}\,\sqrt{\sum_{\ell=1}^n b_\ell^2}\).
3
Soient \((a_k)_{k\in\N}\) et \((b_\ell)_{\ell\in\N}\) deux suites complexes de carrés sommables.
Montrer que la suite double \(\left(\frac{a_kb_\ell}{\strut k+\ell}\right)_{(k,\ell)\in\N^2}\) est sommable.