Cet exercice est consacré aux sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique.
(*) Calculer \(\sum_{i=3}^{n}i\), \(n\in\Nn\setminus\{0,1,2\}\), \(\sum_{i=1}^{n}(2i-1)\), \(n\in\Nn^*\), et \(\sum_{k=4}^{n+1}(3k+7)\), \(n\in\Nn\setminus\{0,1,2\}\).
(*) Calculer le nombre \(1,1111...=\lim_{n\rightarrow +\infty}1,\underbrace{11...1}_n\) et le nombre \(0,9999...=\lim_{n\rightarrow +\infty}0,\underbrace{99...9}_n\).
(*) Calculer \(\underbrace{1-1+1-...+(-1)^{n-1}}_n\), \(n\in\Nn^*\).
(*) Calculer \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...=\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}\).
(**) Calculer \(\sum_{k=0}^{n}\cos\frac{k\pi}{2}\), \(n\in\Nn\).
(**) Soient \(n\in\Nn\) et \(\theta\in\Rr\). Calculer \(\sum_{k=0}^{n}\cos(k\theta)\) et \(\sum_{k=0}^{n}\sin(k\theta)\).
(***) Pour \(x\in[0,1]\) et \(n\in\Nn^*\), on pose \(S_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}\). Déterminer\(\lim_{n\rightarrow +\infty}S_n\).
(**) On pose \(u_0=1\) et, pour \(n\in\Nn\), \(u_{n+1}=2u_n-3\).
Calculer la suite \((u_n-3)_{n\in\Nn}\).
Calculer \(\sum_{k=0}^{n}u_k\).