Soit \((u_n)_{n\ge 1}\) une suite réelle positive décroissante telle que \(\sum u_n\) converge.
1
Montrer que \(nu_n \to 0\) lorsque \(n\to\infty\). \(\Bigl(\)considérer \(\sum_{k=n+1}^{2n} u_k \Bigr)\)
2
Montrer que \(\sum_{n=1}^\infty n(u_n - u_{n+1})\) converge et a même somme que \(\sum_{n=1}^\infty u_n\).
3
Application : calculer pour \(0 \le r < 1\) : \(\sum_{k=1}^\infty kr^k\) et \(\sum_{k=1}^\infty k^2r^k\).