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Montrer que $nu_n \to 0$ lorsque $n\to\infty$. $\Bigl($considérer $\sum_{k=n+1}^{2n} u_k \Bigr)$

Montrer que $\sum_{n=1}^\infty n(u_n - u_{n+1})$ converge et a même somme que $\sum_{n=1}^\infty u_n$.

Application : calculer pour $0 \le r < 1$ : $\sum_{k=1}^\infty kr^k$ et $\sum_{k=1}^\infty k^2r^k$.