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Pour tout $n \in \N^*$ , on pose : $u_n = \sin\left(\frac{1}{n}\right) - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$

Calculer $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ .

Donner le développement limité de $\ln(1+x)$ à l’ordre $2$ quand $x \to 0$ .

En déduire le développement limité à l’ordre 2 de $u_n$ lorsque $n \to +\infty$ et en déduire qu’à partir d’un certain rang, $u_n \geq 0$ .

La série $\displaystyle \sum_{n \geq 1} u_n$ est-elle convergente ?

Etude d'une série positive