Pour tout \(n \in \N^*\), on pose : \[u_n = \sin\left(\frac{1}{n}\right) - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\]
1
Calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\).
2
Donner le développement limité de \(\ln(1+x)\) à l’ordre \(2\) quand \(x \to 0\).
3
En déduire le développement limité à l’ordre 2 de \(u_n\) lorsque \(n \to +\infty\) et en déduire qu’à partir d’un certain rang, \(u_n \geq 0\).
4
La série \(\displaystyle \sum_{n \geq 1} u_n\) est-elle convergente ?