(On applique la règle de Raabe-Duhamel qui n’est pas un résultat de cours.) Pour \(n\in\Nn\), posons \(u_n=\frac{n!}{(a+1)(a+2)\ldots(a+n)}\).

\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{a+n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{a+1}{n}\right)^{-1}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{a+1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}1-\frac{a}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\),

et on sait qu’il existe un réel strictement positif \(K\) tel que \(u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{K}{n^a}\).

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