Nature de la série de terme général
1) (***) \(\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}\) où \(P\) est un polynôme. 2) (**) \(\frac{1}{n^\alpha}S(n)\) où \(S(n) =\sum_{p=2}^{+\infty}\frac{1}{p^n}\).
3) (**) \(u_n\) où \(\forall n\in\Nn^*\), \(u_n=\frac{1}{n}e^{-u_{n-1}}\).
4) (****) \(u_n=\frac{1}{p_n}\) où \(p_n\) est le \(n\)-ème nombre premier
(indication : considérer \(\sum_{n=1}^{N}\ln\left(\frac{1}{1-\frac{1}{p_n}}\right)=\sum_{n=1}^{N}\ln(1+p_n+p_n^2+\ldots)\)).
5) (***) \(u_n=\frac{1}{n(c(n))^\alpha}\) où \(c(n)\) est le nombre de chiffres de \(n\) en base \(10\).
6) (*) \(\frac{\left(\prod_{k=2}^{n}\ln k\right)^a}{(n!)^b}\) \(a > 0\) et \(b> 0\).7) (**) \(\Arctan\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^a\right) -\Arctan\left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^a\right)\).
8) (**) \(\frac{1}{n^\alpha}\sum_{k=1}^{n}k^{3/2}\).9) (***) \(\left(\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^\alpha}\right)\right)-1\).