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Nature de la série de terme général

1) (***) $\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}$ où $P$ est un polynôme. 2) (**) $\frac{1}{n^\alpha}S(n)$ où $S(n) =\sum_{p=2}^{+\infty}\frac{1}{p^n}$.

3) (**) $u_n$ où $\forall n\in\Nn^*$, $u_n=\frac{1}{n}e^{-u_{n-1}}$.

4) (****) $u_n=\frac{1}{p_n}$ où $p_n$ est le $n$-ème nombre premier

(indication : considérer $\sum_{n=1}^{N}\ln\left(\frac{1}{1-\frac{1}{p_n}}\right)=\sum_{n=1}^{N}\ln(1+p_n+p_n^2+\ldots)$).

5) (***) $u_n=\frac{1}{n(c(n))^\alpha}$ où $c(n)$ est le nombre de chiffres de $n$ en base $10$.

6) (*) $\frac{\left(\prod_{k=2}^{n}\ln k\right)^a}{(n!)^b}$ $a > 0$ et $b> 0$.7) (**) $\Arctan\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^a\right) -\Arctan\left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^a\right)$.

8) (**) $\frac{1}{n^\alpha}\sum_{k=1}^{n}k^{3/2}$.9) (***) $\left(\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^\alpha}\right)\right)-1$.