L1 Analyse Série numérique Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PT Prépa BCPST 3 questions

exo7 4464

Soit $(u_n)$ une suite définie par la donnée de $u_0 \in \R^*$ et la relation : $\forall\ n\in\N,\ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+a}{n+b}$ où $a$ , $b$ sont deux constantes réelles ( $-a,-b\notin\N$ ).

Montrer que $u_n$ est de signe constant à partir d’un certain rang.

On pose $v_n = (n+b-1)u_n$ . Étudier la convergence de la suite $(v_n)$ (on introduira la série de terme général $\ln(v_{n+1})-\ln(v_n)$ ).

En déduire que la série $\sum u_n$ converge si et seulement si $a-b+1 < 0$ et calculer sa somme en fonction de $a,b,u_0$ .