Soit \((u_n)\) une suite définie par la donnée de \(u_0 \in \R^*\) et la relation : \(\forall\ n\in\N,\ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+a}{n+b}\) où \(a\), \(b\) sont deux constantes réelles (\(-a,-b\notin\N\)).
1
Montrer que \(u_n\) est de signe constant à partir d’un certain rang.
2
On pose \(v_n = (n+b-1)u_n\). Étudier la convergence de la suite \((v_n)\) (on introduira la série de terme général \(\ln(v_{n+1})-\ln(v_n)\)).
3
En déduire que la série \(\sum u_n\) converge si et seulement si \(a-b+1 < 0\) et calculer sa somme en fonction de \(a,b,u_0\).