1
Montrer par récurrence que, pour tout naturel non nul \(n\), \(\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\). En calculant la différence \((k+1)^2-k^2\), trouver une démonstration directe de ce résultat.
2
Calculer de même les sommes \(\sum_{k=1}^{n}k^2\), \(\sum_{k=1}^{n}k^3\) et \(\sum_{k=1}^{n}k^4\) (et mémoriser les résultats).
3
On pose \(S_p=\sum_{k=1}^{n}k^p\). Déterminer une relation de récurrence permettant de calculer les \(S_p\) de proche en proche.