Soit $n\in\Nn$ .

$\begin{align*}\ensuremath u_n&=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^2}\;dt-\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\int_{0}^{1}t^{2k}\;dt=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^2}\;dt-\int_{0}^{1}\frac{1-(-t^2)^{n+1}}{1+t^2}\;dt\\ &= (-1)^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}\;dt. \end{align*}$

Par suite, pour $N\in\Nn$ ,

$\begin{align*}\ensuremath \sum_{n=0}^{N}u_n=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{N}\frac{(-t^2)^{n+1}}{1+t^2}\;dt =\int_{0}^{1}(-t^2)\frac{1-(-t^2)^{N+1}}{(1+t^2)^2}\;dt=-\int_{0}^{1}\frac{t^2}{(1+t^2)^2}\;dt+(-1)^{N+1}\int_{0}^{1}\frac{t^{2N+2}}{(1+t^2)^2}\;dt. \end{align*}$

Or $\left|(-1)^{N+1}\int_{0}^{1}\frac{t^{2N+2}}{(1+t^2)^2}\;dt\right|=\int_{0}^{1}\frac{t^{2N+2}}{(1+t^2)^2}\;dt\leqslant\int_{0}^{1}t^{2N+2}\;dt=\frac{1}{2N+3}$ . Comme $\frac{1}{2N+3}$ tend vers $0$ quand $N$ tend vers $+\infty$ , il en est de même de $(-1)^{N+1}\int_{0}^{1}\frac{t^{2N+2}}{(1+t^2)^2}\;dt$ . On en déduit que la série de terme général $u_n$ , $n\in\Nn$ , converge et de plus

$\begin{align*}\ensuremath \sum_{n=0}^{+\infty}u_n&=-\int_{0}^{1}\frac{t^2}{(1+t^2)^2}\;dt=\int_{0}^{1}\frac{t}{2}\times\frac{-2t}{(1+t^2)^2}\;dt\\ &=\left[\frac{t}{2}\times\frac{1}{1+t^2}\right]_0^1-\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\times\frac{1}{1+t^2}\;dt=\frac{1}{4}-\frac{\pi}{8}. \end{align*}$

$\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\right)=\frac{1}{4}-\frac{\pi}{8}$ .

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