Pour tout entier $n\geqslant 2$ , on a $nv_n-(n-1)v_{n-1}=u_n$ ce qui reste vrai pour $n = 1$ si on pose de plus $v_0 = 0$ . Par suite, pour $n\in\Nn^*$

$\begin{align*}\ensuremath v_n^2 -2u_nv_n&=v_n^2 - 2(nv_n - (n-1)v_{n-1})v_n = -(2n-1) v_n^2 + 2(n-1)v_{n-1}v_n\\ &\leqslant -(2n-1) v_n^2 +(n-1)(v_{n-1}2+v_n^2) =(n-1)v_{n-1}^2 - n v_n^2. \end{align*}$

Mais alors, pour $N\in\Nn^*$ ,

$\sum_{n=1}^{N}(v_n^2 - 2u_nv_n)\leqslant\sum_{n=1}^{N}((n-1)v_{n-1}^2 - n v_n^2)= - nv_n^2\leqslant0$ .

Par suite,

$\sum_{n=1}^{N}v_n^2\leqslant\sum_{n=1}^{N}2u_nv_n\leqslant2\left(\sum_{n=1}^{N}u_n^2\right)^{1/2}\left(\sum_{n=1}^{N}v_n^2\right)^{1/2}\;$ (inégalité de Cauchy-Schwarz).

Si $\left(\sum_{n=1}^{N}v_n^2\right)^{1/2}>0$ , on obtient après simplification par $\left(\sum_{n=1}^{N}v_n^2\right)^{1/2}$ puis élévation au carré

$\sum_{n=1}^{N}v_n^2\leqslant4\sum_{n=1}^{N}u_n^2$ ,

cette inégalité restant claire si $\left(\sum_{n=1}^{N}v_n^2\right)^{1/2}=0$ . Finalement,

$\sum_{n=1}^{N}v_n^2\leqslant4\sum_{n=1}^{N}u_n^2\leqslant4\sum_{n=1}^{+\infty}u_n^2$ .

La suite des sommes partielles de la série de terme général $v_n^2(\geqslant0)$ est majorée. Donc la série de terme général $v_n^2$ converge et de plus, quand $N$ tend vers l’infini, on obtient

$\sum_{n=1}^{+\infty}v_n^2\leqslant 4\sum_{n=1}^{+\infty}u_n^2$ .

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