Pour tout entier \(n\geqslant 2\), on a \(nv_n-(n-1)v_{n-1}=u_n\) ce qui reste vrai pour \(n = 1\) si on pose de plus \(v_0 = 0\). Par suite, pour \(n\in\Nn^*\)

\[\begin{align*}\ensuremath v_n^2 -2u_nv_n&=v_n^2 - 2(nv_n - (n-1)v_{n-1})v_n = -(2n-1) v_n^2 + 2(n-1)v_{n-1}v_n\\ &\leqslant -(2n-1) v_n^2 +(n-1)(v_{n-1}2+v_n^2) =(n-1)v_{n-1}^2 - n v_n^2. \end{align*}\]

Mais alors, pour \(N\in\Nn^*\),

\(\sum_{n=1}^{N}(v_n^2 - 2u_nv_n)\leqslant\sum_{n=1}^{N}((n-1)v_{n-1}^2 - n v_n^2)= - nv_n^2\leqslant0\).

Par suite,

\(\sum_{n=1}^{N}v_n^2\leqslant\sum_{n=1}^{N}2u_nv_n\leqslant2\left(\sum_{n=1}^{N}u_n^2\right)^{1/2}\left(\sum_{n=1}^{N}v_n^2\right)^{1/2}\;\) (inégalité de Cauchy-Schwarz).

Si \(\left(\sum_{n=1}^{N}v_n^2\right)^{1/2}>0\), on obtient après simplification par \(\left(\sum_{n=1}^{N}v_n^2\right)^{1/2}\) puis élévation au carré

\(\sum_{n=1}^{N}v_n^2\leqslant4\sum_{n=1}^{N}u_n^2\),

cette inégalité restant claire si \(\left(\sum_{n=1}^{N}v_n^2\right)^{1/2}=0\). Finalement,

\(\sum_{n=1}^{N}v_n^2\leqslant4\sum_{n=1}^{N}u_n^2\leqslant4\sum_{n=1}^{+\infty}u_n^2\).

La suite des sommes partielles de la série de terme général \(v_n^2(\geqslant0)\) est majorée. Donc la série de terme général \(v_n^2\) converge et de plus, quand \(N\) tend vers l’infini, on obtient

\(\sum_{n=1}^{+\infty}v_n^2\leqslant 4\sum_{n=1}^{+\infty}u_n^2\).

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