La suite \(\left((-1)^n\frac{1}{3n+1}\right)_{n\in\Nn}\) est alternée en signe et sa valeur absolue tend vers \(0\) en décroissant. Donc la série de terme général \((-1)^n\frac{1}{3n+1}\), \(n\geqslant 1\), converge en vertu du critère spécial aux séries alternées.

Soit \(n\in\Nn\).

\(\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{3k+1}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\int_{0}^{1}t^{3k}\;dt=\int_{0}^{1}\frac{1-(-t^3)^{n+1}}{1-(-t^3)}\;dt=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^3}\;dt+(-1)^n\int_{0}^{1}\frac{t^{3n+3}}{1+t^3}\;dt\).

Mais \(\left|(-1)^n\int_{0}^{1}\frac{t^{3n+3}}{1+t^3}\;dt\right|=\int_{0}^{1}\frac{t^{3n+3}}{1+t^3}\;dt\leqslant\int_{0}^{1}t^{3n+3}\;dt=\frac{1}{3n+4}\). On en déduit que \((-1)^n\int_{0}^{1}\frac{t^{3n+3}}{1+t^3}\;dt\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) et donc que

\(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^3}\;dt\).

Calculons cette dernière intégrale.

\[\begin{align*}\ensuremath \frac{1}{X^3+1}&=\frac{1}{(X+1)(X+j)(X+j^2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{X+1}+\frac{j}{X+j}+\frac{j^2}{X+j^2}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{X+1}+\frac{-X+2}{X^2-X+1}\right)\\ &\frac{1}{3}\left(\frac{1}{X+1}-\frac{1}{2}\frac{2X-1}{X^2-X+1}+ \frac{3}{2}\frac{1}{\left(X-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \right). \end{align*}\]

Donc,

\(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}=\frac{1}{3}\left[\ln(t+1)-\frac{1}{2}\ln(t^2-t+1)+\sqrt{3}\Arctan\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right)\right]_0^1=\frac{1}{3}\left(\ln2+\sqrt{3}\left(\frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right)=\frac{3\ln2+\pi\sqrt{3}}{9}\).

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