Variations autour de la série harmonique

Calculer $\displaystyle \sum_{n=1}^{k} \left(\ln(n+1)-\ln(n)\right)$ pour tout $k \geq 1$ et en déduire la nature de la série : $$\displaystyle \sum_{n \geq 1} \left(\ln(n+1)-\ln(n)\right)$$

On admet que pour tout $x \geq 0$, $\ln(1+x)\leq x$. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $$0 \leq \ln(n+1)-\ln(n) \leq \frac{1}{n}$$.

En déduire que la série $\sum\limits_{n \geq 1} \frac{1}{n}$ diverge.

Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} e^{-\frac{\ln(n)}{n}}$.

Démontrer que $u_n \underset{n\to+\infty}\sim \frac{1}{n}$.

La série $\displaystyle \sum_{n \geq 1} u_n$ est-elle convergente ?

La série $\displaystyle \sum\limits_{n \geq 1} \dfrac{u_n}{n^{\frac{1}{10}}+\frac{1}{10}}$ est-elle convergente ?