Calculer \(\displaystyle \sum_{n=1}^{k} \left(\ln(n+1)-\ln(n)\right)\) pour tout \(k \geq 1\) et en déduire la nature de la série : \[\displaystyle \sum_{n \geq 1} \left(\ln(n+1)-\ln(n)\right)\]
On admet que pour tout \(x \geq 0\), \(\ln(1+x)\leq x\). Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), \[0 \leq \ln(n+1)-\ln(n) \leq \frac{1}{n}\].
En déduire que la série \(\sum\limits_{n \geq 1} \frac{1}{n}\) diverge.
Pour tout \(n \geq 1\), on pose : \[u_n = \left(\frac{1}{n} \right)^{1+\frac{1}{n}}\]
Déterminer \(\lim\limits_{n\to +\infty} e^{-\frac{\ln(n)}{n}}\).
Démontrer que \(u_n \underset{n\to+\infty}\sim \frac{1}{n}\).
La série \(\displaystyle \sum_{n \geq 1} u_n\) est-elle convergente ?
La série \(\displaystyle \sum\limits_{n \geq 1} \dfrac{u_n}{n^{\frac{1}{10}}+\frac{1}{10}}\) est-elle convergente ?