Étude d'une suite récurrente et de son équivalent

Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$.

Montrer que si la suite $(u_n)$ est majorée, il existe $\ell >0$ tel que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$.

Si la suite $(u_n)$ n’est pas majorée, on admet qu’alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

On considère la série $\displaystyle\sum_{k \geq 1} (u_{k+1} - u_k)$. Pour tout $N \in \N^*$, simplifier sa somme partielle : $$S_N = \sum_{k=1}^{N} (u_{k+1} - u_k).$$

En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite finie $\ell$ si et seulement si la série $\displaystyle \sum_{k \geq 1} (u_{k+1} - u_k)$ converge.

Déterminer un équivalent de $u_{n+1} - u_n$ lorsque $n \to +\infty$. En déduire les valeurs possibles de $a$ pour lesquelles la série $\sum (u_{n+1} - u_n)$ convergente.