Soit \(a\) un réel strictement positif et \(u_1\) un réel strictement positif. On définit la suite \((u_n)_{n \ge 1}\) par la relation de récurrence : \[u_{n+1} = u_n + \frac{1}{n^a u_n}\]
On admet que \(u_n\) existe et que \(u_n>0\) pour tout \(n \in \N^*\).
Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
Montrer que si la suite \((u_n)\) est majorée, il existe \(\ell >0\) tel que \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell\).
Si la suite \((u_n)\) n’est pas majorée, on admet qu’alors \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).
On considère la série \(\displaystyle\sum_{k \geq 1} (u_{k+1} - u_k)\). Pour tout \(N \in \N^*\), simplifier sa somme partielle : \[S_N = \sum_{k=1}^{N} (u_{k+1} - u_k).\]
En déduire que la suite \((u_n)\) converge vers une limite finie \(\ell\) si et seulement si la série \(\displaystyle \sum_{k \geq 1} (u_{k+1} - u_k)\) converge.
On suppose que \((u_n)\) converge vers une limite finie \(\ell > 0\).
Déterminer un équivalent de \(u_{n+1} - u_n\) lorsque \(n \to +\infty\). En déduire les valeurs possibles de \(a\) pour lesquelles la série \(\sum (u_{n+1} - u_n)\) convergente.